در این مقاله تحلیل ارتعاشات آزاد ورق‌های ضخیم مستطیلی هدفمند پیزوالکتریک، در حالت مدار بسته مورد بررسی قرار گرفته است. معادلات حاکم بر ورق بر پایه تئوری مرتبه بالاتر تغییر شکل برشی و عمودی با استفاده از اصل کار مجازی به‌دست آمده است. معادلات حاصل با فرض تکیهگاه ساده روی هر چهار لبه ورق به‌صورت تحلیلی حل شده است. در تئوری مرتبه بالاتر تغییر شکل برشی و عمودی، هر دو اثر تغییر شکل برشی و عمودی در راستای ضخامت لحاظ گردیده است و پارامترهای جابه‌جایی و پتانسیل با استفاده از تابع لژاندر در راستای ضخامت بسط داده شده‌اند، از مزایای این تئوری در مقایسه با تئوری‌های برشی این است که جابه‌جایی عرضی ورق در امتداد ضخامت ثابت در نظر گرفته نشده است و برای ورق ضخیم نتایج دقیقی می‌دهد. برای بیان خواص مکانیکی، الکتریکی و فیزیکی مواد هدفمند در امتداد ضخامت از تابع توانی، استفاده شده است. در پایان پس از بررسی صحت نتایج حاضر، نتایج عددی برای پارامترهای گوناگون مانند توان ماده هدفمند پیزوالکتریک، نسبت ضخامت به طول مشخصه و اثر پیزوالکتریک بر فرکانس‌های طبیعی ورق مورد مطالعه قرار گرفته است.
)
